Experimentos y eventos aleatorios

Veo que tienes un temario de Experimentos y eventos aleatorios para un curso de probabilidad. Aquí te desarrollo cada uno de los 4 encuentros:

Encuentro 20: ¿Qué es un experimento aleatorio?

Un experimento aleatorio es cualquier proceso o acción cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo, aunque se repita bajo las mismas condiciones.

Características principales:

• Se puede repetir indefinidamente bajo condiciones similares
• El resultado no es predecible con certeza antes de realizarlo
• Se conocen todos los resultados posibles (aunque no cuál ocurrirá)

Ejemplos clásicos:

Diferencia con experimentos deterministas:

• Determinista: Si dejo caer una piedra, sé que caerá hacia abajo (ley de gravedad)
• Aleatorio: Si lanzo una moneda, no sé si saldrá cara o cruz

Encuentro 21: Espacio muestral y eventos

Espacio muestral (Ω o S)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplos:

• Lanzar una moneda: Ω = {Cara, Cruz} o Ω = {C, X}
• Lanzar un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Lanzar dos monedas: Ω = {CC, CX, XC, XX}

Evento (A, B, C...)

Es cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, un resultado o combinación de resultados que nos interesa.

Tipos de eventos:

Operaciones entre eventos:

• Unión (A ∪ B): Ocurre A, o B, o ambos
• Intersección (A ∩ B): Ocurren A y B simultáneamente
• Complemento (A'): No ocurre A

Encuentro 22: Probabilidad experimental (frecuencial)

La probabilidad experimental se basa en la frecuencia relativa observada al repetir muchas veces un experimento.

Fórmula:

$$P(A) = \frac{\text{Número de veces que ocurre A}}{\text{Número total de repeticiones}} = \frac{f_A}{n}$$

Ejemplo práctico:

Lanzamos una moneda 100 veces y obtenemos:

• Cara: 48 veces → $P(\text{Cara}) = \frac{48}{100} = 0.48$
• Cruz: 52 veces → $P(\text{Cruz}) = \frac{52}{100} = 0.52$

Ley de los grandes números:

A medida que aumenta el número de repeticiones, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad teórica.

→ Se acerca a 0.5 (probabilidad teórica)

Diferencia con probabilidad teórica:

• Teórica: Se calcula sin necesidad de experimentar (ej: $P(\text{cara}) = \frac{1}{2}$)
• Experimental: Se calcula después de realizar el experimento muchas veces

Encuentro 23: Eventos independientes y dependientes

Eventos independientes

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro.

Fórmula: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Ejemplos:

• Lanzar una moneda y sacar cara, luego lanzar otra moneda y sacar cara
• Sacar una carta, devolverla, y sacar otra
• El resultado de un dado no influye en el siguiente lanzamiento

Ejemplo numérico: Lanzamos dos dados. Probabilidad de que ambos sean 6: $$P(6 \text{ y } 6) = P(6) \times P(6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Eventos dependientes

Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno sí afecta la probabilidad del otro.

Fórmula (probabilidad condicional): $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

Donde $P(B|A)$ es "probabilidad de B dado que ocurrió A"

Ejemplos:

• Sacar una carta de una baraja sin devolverla, y luego sacar otra
• Extraer bolas de una urna sin reemplazo
• El clima de hoy y el de mañana

Ejemplo numérico: En una urna con 3 bolas rojas y 2 azules (5 total), sacamos 2 sin reemplazo.

Probabilidad de que ambas sean rojas:

• Primera roja: $P(R_1) = \frac{3}{5}$
• Segunda roja (dado que la primera fue roja): $P(R_2|R_1) = \frac{2}{4}$

$$P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$$

Tabla comparativa

| Fórmula | $P(A) \times P(B)$ | $P(A) \times P(B\ | A)$ |

| Ejemplo típico | Lanzar monedas | Sacar cartas sin devolver |

¿Te gustaría que profundice en algún punto, agregue ejercicios resueltos, o que prepare algún material interactivo?